Giochi a campo medio: equilibri e modelli variazionali - Filippo SANTAMBROGIO (Université Paris-Sud, FRANCIA)

Farò una breve introduzione alla teoria dei "Giochi a Campo Medio" (Mean Field Games), proposti qualche anno fa da J-M Lasry et P-L Lions come modello in cui si cerca l'equilibrio di Nash di una popolazione di agenti, dove ciascuno sceglie come muoversi, tenendo conto che incorre in un costo che è una funzione crescente della densità degli individui che incontra, come in classici problemi di traffico e più in generale in "giochi di congestione". Questo dà luogo a un sistema di PDE accoppiate: un'equazione di continuità che descrive il moto della popolazione, ma la cui velocità dipende dal gradiente della funzione valore del problema di controllo di ogni individuo, e un'equazione di Hamilton-Jacobi sulla funzione valore stessa, che fa apparire però anche la densità. Mi concentrerò essenzialmente sul caso dove la condizione di equilibrio corrisponde all'equazione di Eulero-Lagrange di un problema convesso del calcolo delle variazioni, e presenterò alcuni risultati recenti di regolarità che permettono di dare una formulazione rigorosa della condizione di equilibrio, altrimenti solo formale. Alla fine del talk presenterò anche una variante, dove il costo di congestione è rimpiazzato da un vincolo di capacità: in questo caso appare una variabile aggiuntiva, che gioca il ruolo di una pressione dal punto di vista fisico, ma di un prezzo dal punto di vista economico.