- Sulla base delle esperienze scientifiche maturate, si è proseguito lo studio dell'efficienza numerica dei metodi iterativi di decomposizione e di proiezione per la risoluzione di problemi di programmazione quadratica di grandi dimensioni con vincoli. In particolare è stato sviluppato ed analizzato un metodo di proiezione modificato per problemi di programmazione quadratica strettamente convessa. In (5) si dimostra la convergenza del metodo proposto e si riportano i risultati di un'ampia sperimentazione numerica su problemi test di grandi dimensioni. L'efficienza dell'approccio è valutata anche mediante confronto con la subroutine E04NKF della libreria NAG e con altri recenti metodi di proiezione modificati (6).
Si è studiato il comportamento dei metodi di decomposizione e di proiezione per la risoluzione di problemi di programmazione quadratica solo convessa (3). Al fine di valutare l'efficacia di tali metodi su classi di problemi test, viene introdotta una tecnica per generare in modo casuale problemi di programmazione quadratica con prefissate caratteristiche (livello di sparsità e numero di condizionamento delle matrici, rango dell'Hessiano ecc...).
Speciale attenzione è stata rivolta all'implementazione dei metodi studiati su architetture parallele. E’ stata realizzata (9) l'implementazione su CrayT3E di un metodo di decomposizione per la risoluzione dei problemi di programmazione quadratica che intervengono in un algoritmo per l'interpolazione bivariata. Il metodo di decomposizione considerato (la cui scelta è suggerita dalla particolare struttura dell'Hessiano della forma quadratica presente in questa applicazione) richiede la risoluzione di una sequenza di problemi di complementarità lineare per i quali sono stati analizzati alcuni risolutori paralleli.
- Si è studiato il comportamento di alcuni algoritmi per la risoluzione di problemi ai minimi quadrati lineari con vincoli. È stata sviluppata un'analisi all'indietro dell'errore del metodo di eliminazione diretta per il problema ai minimi quadrati con vincoli lineari di uguaglianza (4). Si è dimostrato che la soluzione calcolata mediante il metodo risulta la soluzione esatta di un problema con dati perturbati e si sono fornite maggiorazioni delle perturbazioni.
È stata inoltre affrontata la risoluzione del particolare problema ai minimi quadrati con un solo vincolo lineare di uguaglianza a cui può essere ricondotto il problema del calcolo di un autovalore (ad es. l'autovalore minimo) di matrici simmetriche (1). È stato considerato un procedimento iterativo con convergenza del quarto ordine e, per il caso di matrici di grandi dimensioni, si è studiata l'efficienza di alcune tecniche per la risoluzione del sottoproblema di minimo vincolato presente ad ogni iterazione.
- Si sono analizzati aspetti numerici presenti nella risoluzione di problemi quadratici di controllo ottimo. Nella risoluzione di un problema di controllo ottimo lineare-quadratico interviene la risoluzione dell'equazione di Riccati. Il metodo di Newton applicato a questa equazione comporta ad ogni passo la risoluzione di una equazione matriciale di Sylvester, che può essere risolta con il metodo iterativo della media aritmetica (2). Sono state esaminate diverse versioni del metodo per i casi in cui le matrici dell'equazione siano sparse e di grandi dimensioni ed abbiano differenti strutture. Si sono forniti criteri di convergenza del metodo per diverse classi di matrici.
Un problema di controllo ottimo lineare-quadratico può essere anche riformulato come problema di programmazione quadratica con vincoli lineari. In (10) si è considerato lo sviluppo di due differenti trascrizioni del prolema di controllo ottimo in problemi di programmazione quadratica; tali problemi sono stati risolti mediante il metodo dei moltiplicatori di Hestenes e con il metodo dei gradienti coniugati come risolutore interno. Per la convergenza del metodo di Hestenes sono state fornite condizioni sul problema di controllo.
- È stato portato avanti lo studio teorico e l'implementazione numerica di tecniche di approssimazione, basate sull'impiego del metodo degli elementi spettrali, per la risoluzione di problemi al contorno per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, su domini bidimensionali e tridimensionali a geometria complessa. Particolare rilievo è stato dato al trattamento numerico di problemi del tipo diffusione-trasporto, con termini di trasporto dominante, attraverso l'impiego di griglie di collocazione basate sull'operatore differenziale da discretizzare. Sono state considerate applicazioni in vari campi, con interesse prevalente verso le equazioni della fluidodinamica.
- È in atto una collaborazione scientifica sistematica tra E. Galligani e L. Zanni con V. Ruggiero (Unità di Ferrara) e il Prof. Maugeri dell’Università di Catania.
È stata avviata una collaborazione scientifica tra L. Zanni e A. Verri dell'Unità di Genova sulla risoluzione numerica di problemi di programmazione quadratica provenienti dall'applicazione di macchine a vettori di supporto.
NOTA: È stata acquistata strumentazione di calcolo, utilizzando un contributo pari a L. 6.741.280 (Digital Workstation 500 au +stampante HP 4000) del cofinanziamento MURST.
Pubblicazioni su riviste
- Galligani E., Ruggiero V., Zanni L.: A minimization method for the solution of large symmetric eigenproblems – Intern. J. Computer Math., 70 (1998) 99-115.
- Galligani E.: Parallel solution of large Sylvester equations – Numerical Methods in Optimization, Maugeri A., Galligani E. eds, Rend. Circ. Matem. Palermo, Serie II Suppl. 58 (1999).
- Ruggiero V, Zanni L.: On a class of iterative methods for convex large--scale quadratic programs – Numerical Methods in Optimization, Maugeri A., Galligani E. eds,Rend. Circ. Matem. Palermo, Serie II Suppl. 58 (1999).
- Galligani E., Zanni L.: Error analysis of direct elimination method for linear equality constrained least squares problems – sottomesso.
- Ruggiero V., Zanni L.: A modified projection algorithm for large strictly convex quadratic programs – sottomesso.
- Ruggiero V., Zanni L.: On the efficiency of splitting and projection methods for large strictly convex quadratic programs – sottomesso.
- Funaro D.: A Note on Second-Order Finite-Difference Artificial-Viscosity Schemes on Uniform Meshes for Advection-Diffusion Equations – sottomesso a Numerical Methods for Partial Differential Equations.
- Funaro D., Pontrelli G.: Spline Approximation of Advection-Diffusion Problems Using Upwind Type Collocation Nodes – sottomesso a Applied Mathematics and Computation.
Pubblicazioni su libri e atti di Conferenze
- Galligani E., Ruggiero V, Zanni L.: Parallel solution of large scale quadratic programs - High Performance Algorithms and Software in Nonlinear Optimization (R. De Leone, A. Murli, P. Pardalos, G. Toraldo eds.) Kluwer Academic Publ. (1998)
- Durazzi C., Galligani E.: Numerical solution of discrete quadratic optimal control problems – in corso di stampa su Proceedings NMA'98 World Scientific Publ. (1998).
Partecipazione a convegni
- 26th International Workshop: Nonlinear Optimization and Applications. 23 giugno/2 luglio 1998, Erice.
Ruggiero V., Zanni L.: Splitting methods for large scale constrained quadratic programs
- Annual Conference AIRO98: Logistics, Transportation and Quality. 23/25 settembre 1998, Treviso.
Ruggiero V., Zanni L.: Splitting methods for constrained quadratic programs: acceleration techniques and parallel implementations
- International Workshop: Equilibrium Problems and Variational Models. 3/ 6 dicembre 1998, Taormina.
Zanni L. (conferenza su invito): Two applications of the variable projection method
Durazzi C., Galligani E.(conferenza su invito): Nonlinear programming methods for solving optimal control problems
- 4th International Conference on Numerical Methods and Applications:NMA'98. 19 -- 23 agosto 1998, Sofia.
Durazzi C., Galligani E.: Numerical solution of discrete quadratic optimal control problems
Funaro D.: comunicazione
- ICOSAHOM'98, Tel Aviv, 22/26 maggio 1998.
Funaro D.: comunicazione
- Workshop on the Analytical and Computational Methods for Convection-Dominated and Singular Perturbed Problems. Lozenetz (Bulgaria), 27/31 agosto 1998.
Funaro D.: comunicazione
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