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Ministero dell'Universita' e della Ricerca scientifica e tecnologica

Programmi di ricerca cofinanziati - Modello C
Rendiconto di unita' di ricerca - ANNO 1997
prot. 9701091751_020

1. Area Scientifico Disciplinare principale 01: Scienze matematiche

2. Coordinatore Scientifico del programma di ricerca

3. Titolo del programma di ricerca

ANALISI NUMERICA: METODI E SOFTWARE MATEMATICO

4. Responsabile Scientifico dell'Unità di ricerca

5. Titolo del programma dell'unità di ricerca

Metodi paralleli per equazioni integrali di Volterra ed equazioni differenziali ordinarie

6. Settore principale del Programma di Ricerca: A04A - Analisi numerica

7. Finanziamenti assegnati all'unità di ricerca

8. Obiettivo della ricerca eseguita

Sviluppo di algoritmi paralleli e con alte proprietà di stabilità per la risoluzione efficiente di equazioni integrali e differenziali, modelli di problemi di particolare interesse nelle scienze biomediche.

9. Descrizione della Ricerca eseguita e dei risultati ottenuti

La ricerca si è sviluppata secondo le seguenti direttici: 

Metodi paralleli per equazioni integrali di Volterra. 
Problemi evolutivi con natura ereditaria, quali dinamica delle popolazioni, diffusione di epidemie ed altri, si modellizzano mediante sistemi di equazioni integrali a grandi dimensioni e con stiffness a volte elevate; pertanto un efficiente trattamento numerico richiede lo sviluppo di metodi paralleli con elevate proprietà di stabilita' e, quindi, la formulazione di una teoria di supporto per un'analisi significativa della stabilita' numerica, che non soffra delle note limitazioni dovute all'uso di equazioni test. 
In questo progetto sono stati sviluppati metodi iterativi di tipo waveform relaxation a parallelismo massiccio, introdotti recentemente da alcuni componenti del gruppo di ricerca, per equazioni integrali a nucleo regolare ed a nucleo debolmente singolari, modelli, questi ultimi, di problemi di reazione - diffusione in piccole celle. 
Per quanto attiene alle equazioni a nucleo regolare sono stati sviluppati ed analizzati metodi waveform relaxation basati su metodi lineari multistep. 
Particolare attenzione e' stata posta al problema della convergenza, sia al tendere a zero del parametro di discretizzazione,fissato il numero di iterazioni, sia al tendere ad infinito del numero di iterazioni. Si sono ottenute condizioni necessarie e sufficienti e condizioni sufficienti di facile applicabilita' per la convergenza dei metodi waveform relaxation pienamente paralleli [3]. 
Alla luce dei limiti sulla velocita' di tali metodi, si sono poi sviluppati, utilizzando una tecnica di accelerazione tipo Chebyshev. metodi waveform relaxation continuous time pienamente paralleli e veloci [2]. 
Per quanto attiene alle equazioni con nuclei debolmente singolari, si sono sviluppati ed analizzati metodi continuous time waveform relaxation [1]. 
L'analisi della convergenza rispetto al numero delle iterate ha richiesto un nuovo approccio che, prendendo in considerazione la non regolarita' della soluzione analitica nell'origine, ha permesso di quantificare l'influenza negativa della singolarita' sulla velocita' di convergenza. 
Infine, allo scopo di effettuare una significativa analisi della stabilita' numerica, studiando l'equazione dell'errore di un metodo applicato ad una generica equazione di Volterra, si sono determinate condizioni sul comportamento asintotico per la soluzione di equazioni discrete di Volterra. 
Tali condizioni hanno consentito di analizzare la stabilita' di alcuni metodi lineari applicati a particolari classi di equazioni integrali di Volterra [4][5][6]. 

Metodi paralleli per sistemi di equazioni differenziali ordinarie. 
Sono stati sviluppati metodi di tipo Adams per equazioni differenziali del primo ordine [8] e di tipo Stormer-Cowell per equazioni differenziali del secondo ordine di forma speciale [10] sia espliciti che impliciti paralleli e di ordine elevato. 
Per problemi stiff del secondo ordine di forma speciale il cui jacobiano può essere decomposto nella somma di matrici (a struttura semplice) che commutano, sono stati costruiti metodi impliciti che utilizzano una fattorizzazione approssimata per il risolutore dei sistemi lineari di Newton [7]. 
Per problemi con soluzioni periodiche, nel caso in cui si supponga noto l'intervallo di variazione delle frequenze, sono state sviluppate due classi di metodi rispettivamente basati sui metodi classici di Stormer-Cowell, adattando i parametri del metodo all'intervallo delle frequenze, usando una tecnica di minimax [9]. 
Sono stati costruiti nuovi metodi numerici per Equazioni Differenziali Ordinarie aventi soluzioni periodiche o oscillanti, supponendo note a priori le frequenze che sono presenti nella soluzione. In particolare, si sono ottenuti nuovi metodi Runge-Kutta e Runge-Kutta-Nystrom basati su polinomi trigonometrici [15]. Sono state inoltre analizzate le modifiche delle proprietà di stabilità che sono causate dalla riformulazione di un nuovo metodo numerico P-stabile mediante exponential-fitting [12]. 
Sono stati dimostrati teoremi di barriera sul massimo ordine ottenibile per metodi Runge-Kutta-Nystrom paralleli, utilizzando tecniche di computer algebra [13]. 
Allo scopo di analizzare le proprietà di stabilita' dei metodi Runge-Kutta-Nystrom inizialmente e successivamente della piu' ampia classe dei Metodi Generali Lineari, sono stati sviluppati due packages simbolico numerici di Mathematica che sono liberamente disponibili su http://www.netlib.org/ode/symbolic/ 


Pubblicazioni: 
[1] H.Brunner, M.R.Crisci, E.Russo, A.Vecchio, Continuous time waveform relaxation methods for Volterra integral equations with weakly singular kernels (in preparazione). 
[2] G.Capobianco, Parallel fast convergent WR for Volterra integral equations, Ricerche di Matematica, in stampa. 
[3] M.R.Crisci, E.Russo, A.Vecchio, Convergence analysis of discrete time waveform relaxation methods based on Volterra backward differentiation for mulas, Ricerche di Matematica, in stampa. 
[4] M.R.Crisci, V.B.Kolmanovskii, E.Russo, A.Vecchio, Asymptotic properties of solution of Volterra difference equation with finite linear part, Dynamics Systems and Applications, 1999. 
[5] M.R.Crisci, V.B.Kolmanovskii, E.Russo, A.Vecchio, Stability of discrete Volterra equations of Hammerstein type, J.Diff.Eq. and Appl., in stampa. 
[6] M.R.Crisci, V.B.Kolmanovskii, E.Russo, A.Vecchio, On the exponential stability of discrete Volterra systems, J.Diff.Eq. and Appl., in stampa. 
[7] P.J.van der Houwen, E.Messina, Splitting methods for second-order initial value problems, Numerical Algorithms, (18) 233-257, 1998. 
[8] P.J.van der Houwen, E.Messina, Parallel Adams methods, J.Comput.Appl.Math., (101) 153-165, 1999. 
[9] P.J.van der Houwen, E.Messina, B.P.Sommeijer, Oscillatory Stormer-Cowell methods, J.Comput.Appl.Math., in stampa. 
[10] P.J.van der Houwen, E.Messina, J.J.B. de Swart, Parallel Stormer-Cowell methods for high-precision orbit computations, Appl.Num.Math., (31) 353-374, 1999. 
[11] M.Cafaro, B.Paternoster, Analysis of stability of rational approximations through computer algebra, Computer Algebra in Scientific Computing CASC-99, V.G.Ganzha, E.W.Mayr and E.V.Vorozhtsov, eds., Springer, Munich}, (16) 25-36, 1999. 
[12] L.Gr.Ixaru, B.Paternoster, A conditionally P-stable fourth order exponential-fitting method for y"=f(x,y)}, J. Comput. Appl. Math., (106) 87-98, 1999. 
[13] B.Paternoster, Order bound for a family of parallel 
Runge-Kutta-Nystrom methods through computer algebra, 
Computers & Mathematics with Applications, 35(9), 107-119, 1998. 
[14] B.Paternoster, M.Cafaro, Computation of the interval of stability of Runge--Kutta--Nystrom methods,J.Symb.Comp., (25) 383-394, 1998. 
[15] B.Paternoster, Runge-Kutta(-Nystrom) methods for ODEs with periodic solutions based on trigonometric polynomials, Appl. Num. Math., (28) 2-4, 401-412, 1998.

10. Pubblicazioni

11. Prodotti della Ricerca eseguita

Algoritmi ad elevate prestazioni per la risoluzione numerica di equazioni integrali e differenziali. 

Software prodotto: 
M.Cafaro, B.Paternoster, StabInt.m: a symbolic-numerical package for the Analysis of stability of rational approximations. Il package è disponibile su http://www.netlib.org/ode/symbolic/ 

B.PAternoster, M.Cafaro, RknStabInt.m. Il package è disponibile su http://www.netlib.org/ode/symbolic/

12. Componenti dell'Unità di ricerca che hanno effettivamente partecipato alla ricerca
Personale docente

Altro personale

Personale a contratto

13. Note relative ai componenti (p.12)

14. Risorse umane complessivamente ed effettivamente impegnate

15. Dati complessivi relativi al programma

16. Tabella delle spese sostenute: cifre spese, rimaste da pagare o impegnate(*)
(*) Da Impegnare LIMITATAMENTE a Pubblicazioni e Partecipazioni a Convegni e Congressi SOLAMENTE se inerenti i risultati della Ricerca cofinanziata per i quali si richiedera' successiva rendicontazione

Si ricorda che ogni variazione rispetto al Programma Iniziale sulla composizione delle Unità Operative e sulla diversa utilizzazione dei Fondi, doveva essere comunicata al Dipartimento Affari Economici come da nota n. 1709 del 22.7.98.

(per la copia da depositare presso l’Ateneo e per l’assenso alla diffusione via Internet delle informazioni riguardanti i programmi finanziati legge del 31.12.96 n° 675 sulla "Tutela dei dati personali")