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Ministero dell'Universita' e della Ricerca scientifica e tecnologica

Programmi di ricerca cofinanziati - Modello C
Rendiconto di unita' di ricerca - ANNO 1997
prot. 9701091751_004

1. Area Scientifico Disciplinare principale 01: Scienze matematiche

2. Coordinatore Scientifico del programma di ricerca

3. Titolo del programma di ricerca

ANALISI NUMERICA: METODI E SOFTWARE MATEMATICO

4. Responsabile Scientifico dell'Unità di ricerca

5. Titolo del programma dell'unità di ricerca

Errore e stabilità nelle equazioni differenziali ordinarie

6. Settore principale del Programma di Ricerca: A04A - Analisi numerica

7. Finanziamenti assegnati all'unità di ricerca

8. Obiettivo della ricerca eseguita

Ottenere stime a basso costo computazionale dell'errore di discretizzazione, in problemi lineari e non, per equazioni differenziali ordinarie. 
Estendere lo studio al calcolo degli autovalori e delle autofunzioni di problemi differenziali del tipo Sturm-Liouville. Sviluppare, in questo ambito, l'impiego dei Boundary Value Methods (BVMs) in connessione con la tecnica dello shooting multiplo.

9. Descrizione della Ricerca eseguita e dei risultati ottenuti

Nell'ambito della risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie con assegnati valori al contorno per mezzo della tecnica dello shooting ci si era proposto di mettere a punto una metodologia generale per la valutazione dell'errore globale di discretizzazione. 
Questo obbiettivo e' stato raggiunto. 
Nel caso di problemi lineari la tecnica utilizzata si basa sull'impiego dell'equazione dell'errore di Henrici (problema secondario) da associarsi al problema posto (problema primario), equazione che puo' essere discretizzata con lo stesso metodo adottato per il problema primario. Poiche' la stiffness dei due problemi e' sostanzialmente la medesima, la stima dell'errore e' coerente con quella della soluzione del problema primario e consente un miglioramento della accuratezza raggiungibile sperimentalmente valutata mediamente in un ordine di grandezza. 
Nel caso che si utilizzino tecniche di tipo BVM per l'integrazione numerica dei due problemi, si e' dimostrata la stretta correlazione fra la soluzione numerica del problema secondario e l'errore di discretizzazione ottenibile dal sistema lineare risultante per il problema primario. 
La difficolta' di calcolare le derivate successive della soluzione del problema primario, presenti nella espressione esplicita dell'errore, e' stata in parte superata mettendo a punto una tecnica che generalizza, estendendola a coppie di BVM, quella di estrapolazione locale di Milne. Sono state sperimentate con successo coppie di formule BVM di tipo ETR e ETR2. 
Per problemi non lineari si e' preferito utilizzare, in luogo di tecniche di tipo BVM, coppie di formule di tipo Adams usate in modo PECE per la stima dell'errore di discretizzazione. Si e' dimostrato che la struttura formale dell'errore globale di discretizzazione rimane la medesima nei due casi (lineare e non lineare), fermo restando la necessita' di ricorrere, nel secondo caso, a uno schema iterativo per la risoluzione di un opportuno sistema non lineare. I costi computazionali appaiono contenuti rispetto alle procedure di calcolo note relative a problemi del genere. 
Le metodologie sopra dette per problemi lineari sono state estese al caso della approssimazione delle autofunzioni in problemi di tipo Sturm-Liouville. 
Sempre nell'ambito dello shooting multiplo, si e' dimostrato che e' possibile fornire una formula generale per la valutazione dell'errore globale di discretizzazione, nel calcolo delle autofunzioni, di cui e' nota la dipendenza dall'ordine delle formule BVM usate e dall'errore con cui sono inizialmente stimati i corrispondenti autovalori. Cio' consente significative correzioni delle approssimazioni calcolate per le autofunzioni. 
Si e' inoltre messa a punto una tecnica di correzione per gli autovalori di tipo estrapolativo sensibilmente piu' economica rispetto a quelle classiche note in letteratura. Ottenuta una approssimazione di un autovalore con un determinato passo di discretizzazione, e' possibile dare una stima dell'errore senza dover ripetere l'intera procedura con un passo ridotto. Infatti, allo scopo, sotto ipotesi piuttosto deboli, si possono utilizzare valori gia' precedentemente calcolati nel processo di approssimazione dell'autovalore stesso. 
Uno degli aspetti rilevanti di queste metodologie consiste anche nel fatto che si possono ottenere approssimazioni degli autovalori con indici elevati particolarmente accurate. Questo comportamento si discosta da quello ben noto nel caso di un approccio algebrico in cui si verifica generalmente il fenomeno opposto. 
L'efficacia dei metodi si e' mantenuta a livelli soddisfacenti anche nel caso di problemi dotati di singolarita'. 
I numerosi tests numerici sono stati scelti fra quelli piu' significativi forniti dalla letteratura corrente.

10. Pubblicazioni

11. Prodotti della Ricerca eseguita

E' stato prodotto un software per la risoluzione numerica di problemi di tipo Sturm-Liouville il quale, tuttavia, e' utilizzato esclusivamente dai componenti dell'unita' di ricerca e non e' stato ancora reso disponibile e terzi.

12. Componenti dell'Unità di ricerca che hanno effettivamente partecipato alla ricerca
Personale docente

Altro personale

Personale a contratto

13. Note relative ai componenti (p.12)

Il prof. MARZULLI Pietro e' stato collocato a riposo a decorrere dal 1 novembre 1998. 
Tuttavia, come risulta al n. 4 del precedente punto 12 di questo modello per quanto riguarda i mesi uomo effettivamente impegnati, il suddetto professore ha continuato a partecipare alla ricerca nell'ambito di questo progetto.

14. Risorse umane complessivamente ed effettivamente impegnate

15. Dati complessivi relativi al programma

16. Tabella delle spese sostenute: cifre spese, rimaste da pagare o impegnate(*)
(*) Da Impegnare LIMITATAMENTE a Pubblicazioni e Partecipazioni a Convegni e Congressi SOLAMENTE se inerenti i risultati della Ricerca cofinanziata per i quali si richiedera' successiva rendicontazione

Si ricorda che ogni variazione rispetto al Programma Iniziale sulla composizione delle Unità Operative e sulla diversa utilizzazione dei Fondi, doveva essere comunicata al Dipartimento Affari Economici come da nota n. 1709 del 22.7.98.

(per la copia da depositare presso l’Ateneo e per l’assenso alla diffusione via Internet delle informazioni riguardanti i programmi finanziati legge del 31.12.96 n° 675 sulla "Tutela dei dati personali")