mod_C
Ministero dell'Universita' e della Ricerca scientifica e tecnologica
Programmi di ricerca cofinanziati - Modello C
Rendiconto di unita' di ricerca - ANNO 1997
prot. 9701091751_008
1. Area Scientifico Disciplinare principale 01: Scienze matematiche
2. Coordinatore Scientifico del programma di ricerca
| RUGGIERO | Valeria |
| (cognome) | (nome) |
| Universita' degli Studi di FERRARA | Facolta' di SCIENZE MATEMATICHE FISICHE e NATURALI |
| (università) | (facoltà) |
| MATEMATICA | |
| (dipartimento/istituto) |
3. Titolo del programma di ricerca
4. Responsabile Scientifico dell'Unità di ricerca
| TRIGIANTE | Donato |
| (cognome) | (nome) |
| Universita' degli Studi di FIRENZE | Facolta' di SCIENZE MATEMATICHE FISICHE e NATURALI |
| (università) | (facoltà) |
| ENERGETICA | |
| (dipartimento/istituto) |
5. Titolo del programma dell'unità di ricerca
6. Settore principale del Programma di Ricerca: A04A - Analisi numerica
7. Finanziamenti assegnati all'unità di ricerca
| (in lire) | |
|---|---|
| Quota ateneo | 26.000.000 |
| Cofin assegnato | 30.000.000 |
| Totale complessivo | 56.000.000 |
8. Obiettivo della ricerca eseguita
9. Descrizione della Ricerca eseguita e dei risultati ottenuti
1. lo studio delle proprieta' teoriche dei metodi.
2. lo studio delle tecniche di implementazione per i metodi BVM, sia su calcolatori sequenziali che paralleli.
3. la costruzione di codici numerici di calcolo basati su tali metodi.
La ricerca fino ad ora condotta ha chiaramente evidenziato le buone potenzialita' dei metodi BVM nella loro implementazione a blocchi. In tale implementazione, le condizioni addizionali per il problema discreto sono imposte implicitamente attraverso l'utilizzo di idonei "metodi addizionali". Alla luce di tale implementazione e' stato necessario riconsiderare le proprieta' di convergenza e stabilita' dei metodi. In [7], il problema e' stato studiato riformulando i BVM a blocchi come metodi Lineari Generalizzati (GLM). In particolare, le proprieta' di stabilita' dei metodi di Adams Generalizzati (GAM) a blocchi sono state studiate in maggior dettaglio, in quanto tali metodi sono stati utilizzati per la costruzione di un codice di calcolo, di seguito descritto.
Un ulteriore aspetto teorico che e' stato oggetto di approfondimento riguarda le condizioni che i metodi numerici devono soddisfare per essere efficientemente applicabili a problemi di tipo Hamiltoniano [1], in quanto per questi problemi la classica analisi di stabilita' lineare risulta essere insufficiente. Infatti, l'equazione test da questa utilizzata e' un prototipo di sistema dissipativo, laddove i sistemi di tipo Hamiltoniano sono conservativi. Per tali sistemi, e' necessario che il metodo numerico soddisfi un' ulteriore condizione, denominata "time reversal symmetry". Questa proprieta' e' richiesta per ottenere una soluzione discreta che sia isotropa rispetto al verso di integrazione, proprieta' che e' posseduta dalla soluzione del problema continuo. In maggior dettaglio, l'analisi in [1] e' stata fatta per i BVM a blocchi, dimostrando che solo i metodi simmetrici [11] in tale classe soddisfano tale proprieta'.
La applicazione dei metodi BVM a blocchi per la soluzione di equazioni differenziali algebriche (DAE) e' stata altresi' studiata in [3], dove sono state studiate alcune proprieta' delle BDF Generalizzate (GBDF) a blocchi, che consentono la agevole determinazione di condizioni iniziali consistenti. Queste ultime sono richieste per ottenere un problema discreto che sia risolvibile. La tecnica proposta e' stata sperimentata su problemi in forma di Hessemberg, con indice variabile da 1 a 3.
E' stata inoltre studiata la implementazione di metodi BVM a blocchi, sia su calcolatori sequenziali che paralleli. Per quanto riguarda la implementazione su calcolatori sequenziali, in [6] e' stato studiata la efficiente risoluzione dei sistemi lineari e nonlineari derivanti dalla applicazione dei metodi. Il problema di ottenere una stima dell'errore locale e' stato altresi' affrontato con successo. Questo, inoltre, e' connesso con il problema della variazione automatica del passo e dell'ordine del metodo. Per la risoluzione delle equazioni nonlineari, e' stato sviluppato uno splitting nonlineare, che ha proprieta' di convergenza molto buone. A conferma di questo, l'analisi di convergenza lineare dimostra che la iterazione corrispondente ai GAM a blocchi di ordine 3, 5 e 7 e' A-convergente, mentre quella del metodo di ordine 9 e' A(alfa) convergente, con alfa molto prossimo a pi/2. La stima dell'errore locale e' ottenuta mediante una modifica della tecnica nota come "deferred correction", che trae vantaggio della naturale caratteristica dei metodi BVM a blocchi di avere, nell'ambito della stessa famiglia di metodi, metodi di ordine piu' elevato (rispetto a quello correntemente usato). Questo permette di ottenere una efficiente strategia per la variazione automatica del passo di integrazione. Una semplice analisi comparativa dei costi permette, inoltre, di variare dinamicamente anche l'ordine del metodo. Una vasta sperimentazione ha dimostrato la efficacia di tali strategie. Questi risultati sono stati sfruttati nello sviluppo del codice di calcolo denominato GAM [9], che risulta essere competitivo rispetto ai piu' affidabili codici di calcolo esistenti (quali MEBDFDAE [10] e RADAU5 [12]), sia per quanto rigiarda la robustezza che l'efficienza. A conferma di questo, il codice GAM e' gia' utilizzato, in alcuni centri di ricerca, come uno standard di riferimento.
Per la implementazione dei metodi BVM a blocchi su calcolatori paralleli, sono state considerate due strategie differenti.
Una di queste [8] consiste nella parallelizzazione della procedura utilizzata nel codice sequenziale GAM. In tal caso, il parallelismo e' sfruttato nella soluzione dei sistemi nonlineari derivanti, ad ogni passo, dalla applicazione dei metodi (parallelismo "across the method"). Al fine di ottenere buone performance parallele, lo splitting nonlineare e' stato sostituito con una diagonalizzazione a blocchi della matrice dei coefficienti del metodo: ciascuno dei blocchi diagonali e' quindi assegnato ad un differente processore. Una prima sperimentazione ha confermato l'analisi teorica, anche se il codice non e' ancora in versione definitiva.
Una differente strategia presa in considerazione consiste invece nella approssimazione simultanea della soluzione su piu' passi temporali consecutivi dello stesso metodo (parallelismo "across the steps"). Tale strategia si e' dimostrata molto promettente per problemi lineari, ed utilizzando una discretizzazione uniforme (vedi, ad esmpio, [11]). Tuttavia, la sua applicazione a problemi nonlineari richiede la soluzione dei seguenti problemi:
1) la selezione di una mesh appropriata (generalmente variabile),
2) la convergenza della iterazione nonlineare su tutto l'intervallo di integrazione considerato,
3) la determinazione di un punto iniziale per l'iterazione stessa.
Per risolvere tali problemi, in [5] e' stata proposta una procedura a due fasi: nella prima fase, si utilizza il metodo dei trapezi (opportunamente modificato) per determinare una mesh appropriata ed un profilo iniziale della soluzione. Tale fase, tuttavia, ha una natura intrinsecamente sequenziale. Nella seconda fase, quindi, si utilizza il metodo di Newton modificato, su una opportuna "finestra" di integrazione, per risolvere un nuovo problema discreto, ottenuto utilizzando un metodo GAM a blocchi di ordine piu' elevato, sulla stessa mesh precedentemente ottenuta. Tale fase e', al contrario della prima, altamente parallelizzabile. La finestra di integrazione e' determinata dinamicamente mediante la stima, durante la prima fase, di una coppia di parametri che misurano la velocita' di convergenza dell'iterazione di Newton modificato della seconda fase. Tale strategia a due fasi e' stata utilizzata in [2] per sviluppare un codice parallelo. Tuttavia, nella versione originale, tale codice risultava essere relativamente inefficiente, quando utilizzato su problemi di dimensione elvata. Tale inconveniente deriva dalla iterazione di Newton della seconda fase, che richiede il calcolo (e la fattorizzazione) della matrice Jacobiana relativa alla intera finestra di integrazione considerata. Questo e', infatti, computazionalmente costoso, nonostante l'uilizzo di piu' processori in parallelo. Per tale motivo, e' stata studiata [4] una nuova famiglia di metodi (da utilizzare nella seconda fase della predetta procedura), per i quali e' naturalmente possibile definire un'efficiente splitting nonlineare, da utilizzare in alternativa al metodo di Newton modificato. Tale strategia ha notevolmente migliorato la complessita' della seconda fase del metodo parallelo a due fasi, sebbene rimanga ancora il problema di superare le limitazioni dovute alla natura sequenziale della prima fase.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI.
[1] L.Aceto, D.Trigiante. Symmetric schemes, time reversal symmetry and conservative methods for Hamiltonian systems. J. Comput. and Appl. Math. 107 (1999) 257-274.
[2] P.Amodio, L.Brugnano. ParalleloGAM: a parallel code for ODEs. Appl. Numer. Math. 28 (1998) 95-106.
[3] P.Amodio, F.Mazzia. An algorithm for the computation of consistent initial values for Differential-Algebraic equations. Numerical Algorithms 19, n. 1-4 (1998) 13-23.
[4] L.Brugnano. Blended block BVMs (B$_3$VMs): a family of
economical implicit methods for ODEs. J. Comput. and Appl. Math. 116 (2000) 41-62.
[5] L.Brugnano, D.Trigiante. Parallel implementation of block boundary value methods on nonlinear problems: theoretical results. Appl. Numer. Math. 28 (1998) 127-141.
[6] F.Iavernaro, F.Mazzia. Solving differential equations by
generalized Adams methods: properties and implementation techniques. Appl. Numer. Math. 28 (1998) 107-126.
[7] F.Iavernaro, F.Mazzia. Block-Boundary Value Methods for the solution of ordinary differential equations. SIAM J. Sci. Comput. 21, n. 1 (1999) 323-339.
[8] F.Iavernaro, F.Mazzia. On the extension of the code GAM for parallel computing. Lect. Notes in Comp. Sci. 1685 (1999) 1136-1143.
[9] F.Iavernaro, F.Mazzia. F GAM, available via WWW at the URL: http://www.dm.uniba.it/~{}mazzia/ode/readme.html
[10] J.R.Cash. MEBDFDAE, Available via WWW at the URL:
http://www.ma.ic.ac.uk/~{}jcash/IVP_softfare
[11] L.Brugnano, D.Trigiante. Solving differential problems by multistep initial and boundary value methods. Gordon and Breach, Amsterdam, 1998.
[12] E.Hairer, G.Wanner. Solving ordinary differential equations II. Stiff and differential-algebraic equations, Springer, Berlin ,1996.
10. Pubblicazioni
| 1. | L.Brugnano, D.Trigiante. Solving Differential Problems by Multistep Initial and Boundary Value Methods. Gordon and Breach, Amsterdam, 1998 (pp. 418 + xv). |
| 2. | F.Iavernaro, F.Mazzia. Solving Differential Equations by Generalized Adams Methods: Properties and Implementation Techniques. Appl. Numer. Math. 28 (1998) 127-141. |
11. Prodotti della Ricerca eseguita
1) avanzamento delle conoscenze teoriche riguardo le proprieta' dei metodi numerici per equazioni differenziali, denominati BVM a blocchi;
2) definizione di opportune strategie implementative per i predetti metodi;
3) studio dell'applicabilita' dei metodi BVM a blocchi a problemi differenziali con specifiche caratteristiche (problemi Hamiltoniani ed equazioni differenziali algebriche);
4) realizzazione di un codice di calcolo, per calcolatori sequenziali, basato su metodi BVM a blocchi nella famiglia denominata GAM (Generalized Adams Methods). Tale codice e' da annoverarsi tra i piu' efficienti attualmente disponibili;
5) realizzazione di differenti prototipi di codici paralleli, basati su metodi BVM a blocchi.
12. Componenti dell'Unità di ricerca che hanno effettivamente partecipato alla ricerca
Personale docente
| nº | cognome | nome | qualifica | facoltà | dipartimento/istituto Università | mesi uomo dal modello I anno | mesi uomo dal modello II anno | mesi uomo effetiv. impegnati I anno | mesi uomo effetiv. impegnati II anno | nota |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | AMODIO | Pierluigi | prof. associato | Facolta' di SCIENZE MATEMATICHE FISICHE e NATURALI | INTERUNIVERSITARIO DI MATEMATICA Universita' degli Studi di BARI |
11 | 11 | 11 | 11 | |
| 2. | BRUGNANO | Luigi | prof. associato | Facolta' di SCIENZE MATEMATICHE FISICHE e NATURALI | MATEMATICA "ULISSE DINI" Universita' degli Studi di FIRENZE |
11 | 11 | 11 | 11 | |
| 3. | IAVERNARO | Felice | ricercatore | Facolta' di SCIENZE MATEMATICHE FISICHE e NATURALI | INTERUNIVERSITARIO DI MATEMATICA Universita' degli Studi di BARI |
11 | 11 | 11 | 11 | |
| 4. | TRIGIANTE | Donato | prof. ordinario | Facolta' di SCIENZE MATEMATICHE FISICHE e NATURALI | ENERGETICA Universita' degli Studi di FIRENZE |
11 | 11 | 11 | 11 |
Altro personale
| nº | Cognome | Nome | Qualifica | Facoltà | Dipartimento/Istituto Università/Ente | mesi uomo effetiv. impegnati I anno | mesi uomo effetiv. impegnati II anno | Nota |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | Aceto | Lidia | Dottorando | SCIENZE MATEMATICHE FISICHE e NATURALI | Dipartimento di Matematica - Universita' di Genova | 11 | 11 | |
| 2. | Bertaccini | Daniele | Dottorando | SCIENZE MATEMATICHE FISICHE e NATURALI | Dipartimento di Matematica - Universita' di Firenze | 11 | 11 | |
| 3. | Mazzia | Annamaria | Dottorando | SCIENZE MATEMATICHE FISICHE e NATURALI | Dipartimento di Matematica - Universita' di Padova | 11 | 11 |
Personale a contratto
| nº | Cognome | Nome | Qualifica | Facoltà | Dipartimento/Istituto Università/Ente | Inizio del contratto | Durata del contratto in mesi | Costo in lire | mesi uomo I anno | mesi uomo II anno | Nota |
|---|
13. Note relative ai componenti (p.12)
14. Risorse umane complessivamente ed effettivamente impegnate
| mesi uomo I anno | mesi uomo II anno | Totale mesi uomo |
|
|---|---|---|---|
| da personale universitario | 44 | 44 | 88 |
| altro personale | 33 | 33 | 66 |
| personale a contratto | 0 |
15. Dati complessivi relativi al programma
| (numero) | |
|---|---|
| partecipazioni a convegni: | |
| in Italia | 4 |
| all'estero | 4 |
| articoli pertinenti pubblicati: | |
| su riviste italiane con referee | |
| su riviste straniere con referee | 9 |
| su altre riviste italiane | |
| su altre riviste straniere | |
| comunicazioni a convegni/congressi internazionali | 4 |
| comunicazioni a convegni/congressi nazionali | 4 |
| rapporti interni | 3 |
| brevetti depositati |
16. Tabella delle spese sostenute: cifre spese, rimaste da pagare o impegnate(*)
(*) Da Impegnare LIMITATAMENTE a Pubblicazioni e Partecipazioni a Convegni e Congressi SOLAMENTE se inerenti i risultati della Ricerca cofinanziata per i quali si richiedera' successiva rendicontazione
| Voce di spesa | Spese indicate nel modello (in altro: voce B - pers. a contratto) | Fondi utilizzati I anno (relaz.) | Pagato I anno | Pagato II anno | Rimane da pagare | Impegnato | Totale spese sostenute | Descrizione |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Materiale inventariabile | 5.000.000 | 800.000 | 0 | 2.382.686 | 0 | 2.382.686 | libri, segreteria telefonica | |
| Grandi Attrezzature | 30.000.000 | 0 | 0 | 16.775.200 | 0 | 16.775.200 | personal computers, una stampante, manutenzione | |
| Materiale di consumo | 700.000 | 0 | 4.123.953 | 0 | 4.123.953 | cancelleria, toner stampante, lucidi, materiale vario | ||
| Spese per calcolo ed elaborazione dati | 100.000 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| Personale a contratto | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| Servizi esterni | 0 | 0 | 0 | 2.480.776 | 2.480.776 | incarico per prestazione | ||
| Missioni | 3.200.000 | 3.200.000 | 24.573.971 | 0 | 27.773.971 | 4 missioni in Italia, 3 missioni all'estero, 2 seminari |
||
| Altro(*) | 30.000.000 | 700.000 | 700.000 | 1.763.414 | 0 | 0 | 2.463.414 | spese telefoniche, DHL, fotocopie, spese di albergo per conferenziere, commissioni bancarie |
| Totale | 65.000.000 | 5.500.000 | 3.900.000 | 49.619.224 | 2.480.776 | 0 | 56.000.000 |
| (in lire) | |
|---|---|
| Totale finanziamento assegnato | 56.000.000 |
| Totale spese sostenute | 56.000.000 |
| Fondi non utilizzati (vedi nota n.2235 del 19.10.99) |
0 |
Si ricorda che ogni variazione rispetto al Programma Iniziale sulla composizione delle Unità Operative e sulla diversa utilizzazione dei Fondi, doveva essere comunicata al Dipartimento Affari Economici come da nota n. 1709 del 22.7.98.
(per la copia da depositare presso l’Ateneo e per l’assenso alla diffusione via Internet delle informazioni riguardanti i programmi finanziati legge del 31.12.96 n° 675 sulla "Tutela dei dati personali")
| Data 25/05/2000 17:55 | Firma ................................................................... |
