Relazione Finale

Ministero dell'Universita' e della Ricerca scientifica e tecnologica

Programmi di ricerca cofinanziati - Modello D
Rendiconto del programma di ricerca - ANNO 1997
prot. 9701091751

1. Area Scientifico Disciplinare principale 01: Scienze matematiche

2. Coordinatore Scientifico del programma di ricerca

3. Titolo del programma di ricerca

ANALISI NUMERICA: METODI E SOFTWARE MATEMATICO

4. Settore principale del Programma di Ricerca: A04A - Analisi numerica

5. Costo originale del Programma: 1.761.823.000 Lire

6. Quota Cofinanziamento MURST: 823.000.000 Lire

7. Quota Cofinanziamento Ateneo: 687.388.000 Lire

8. Totale finanziamento assegnato: 1.510.388.000 Lire

9. Durata: 24 mesi

10. Obiettivo della ricerca eseguita

Nei due anni di durata, il progetto di ricerca ha perseguito i due seguenti obiettivi, dichiarati al punto 8 del modello A, e riportati integralmente nel seguito: 

I) Studiare alcuni significativi problemi concreti di elevata complessita' computazionale della Medicina (ad es., il problema della ricostruzione di immagini SPECT, PET e MRI) e dell'Ingegneria (ad es., problemi di meccanica strutturale, problemi di microelettronica, problemi di diffusione e trasporto, problemi di identificazione e di controllo ottimo, problemi di equilibrio del traffico) sui quali sfidare le potenzialita' di calcolo degli attuali calcolatori e i nuovi metodi dell'Analisi Numerica. Alcuni metodi per il miglioramento della "ricostruzione" di immagini bi e tridimensionali di tipo SPECT saranno messi a punto sul calcolatore fino a livello di software da applicare nella routine clinica. L'efficienza dei metodi sviluppati per risolvere i vari problemi della Medicina e dell'Ingegneria presi in considerazione sara' valutata, realizzando opportuni codici di calcolo, su alcuni "problemi modello"; questa produzione di "benchmark" dei nuovi metodi su "problemi modello" significativi e' uno dei principali risultati attesi del progetto. 
II) Sviluppare ed analizzare metodi numerici efficienti ed innovativi per la risoluzione dei "problemi fondamentali" del Calcolo Scientifico, tenendo conto per la loro messa a punto sul calcolatore anche di architetture di calcolo parallele. L'attenzione sara' prevalentemente rivolta ai "problemi fondamentali" relativi alla integrazione numerica di equazioni differenziali ordinarie, al calcolo di integrali singolari e alla modellazione geometrica. In particolare, saranno prodotti un "package" per la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali ordinarie con un nuovo metodo, denominato BVM, un "sistema integrato", denominato XCMODEL, per la modellazione di curve e superfici sculturate, per la composizione solida di oggetti e per la resa realistica di scene ed un insieme di "elementi" di software matematico per architetture di calcolo parallele utilizzabili direttamente nelle applicazioni. 

Pertanto il progetto si e' articolato in cinque temi di ricerca: 
I) Obiettivo 
1. Metodi e software per il miglioramento della ricostruzione di immagini SPECT da applicare nella routine clinica. Metodi per la ricostruzione e compressione di immagini. 
2. Sfida delle potenzialità degli attuali calcolatori paralleli e dei nuovi metodi dell'Analisi Numerica per la risoluzione di significativi problemi di elevata complessità dell'Ingegneria. 
II) Obiettivo 
3. Metodi e software per l'integrazione numerica di sistemi di equazioni differenziali ordinarie di grandi dimensioni. 
4. Metodi per il calcolo di integrali singolari. 
5. Software per la modellazione geometrica e produzione di software matematico per architetture parallele. 

Tutte queste attività hanno avuto come comune denominatore l'analisi e lo sviluppo di metodi innovativi dell'Analisi Numerica, privilegiando le architetture di calcolo parallele per la loro messa a punto. 
Si intendeva arrivare alla produzione dei seguenti prodotti software originali: 

a) un "package" per l'analisi di immagini di tipo SPECT da applicare nella routine clinica; 
b) un "package" per l'integrazione numerica di sistemi di grandi dimensioni di equazioni differenziali ordinarie basato sui metodi BVM; 
c) un sistema integrato per la modellazione di curve e superfici, per la composizione solida di oggetti, per la resa realistica di scene; 
d) un insieme di "elementi" di software matematico di base per architetture parallele.

11. Descrizione della Ricerca eseguita e dei risultati ottenuti

L'attivita' svolta nell'ambito del progetto "Analisi Numerica: Metodi e Software Matematico" ha permesso di raggiungere gli obiettivi prefissati e di produrre una serie di risultati significativi su problemi di elevata complessità; il loro carattere innovativo è dovuto all'originalità dei metodi analizzati e dei pacchetti software sviluppati. 
I risultati ottenuti sono contenuti in oltre 300 pubblicazioni scientifiche su riviste nazionali e internazionali e in 99 rapporti interni e sono stati divulgati attraverso 280 comunicazioni a convegni nazionali e internazionali. 

§ I. CONSUNTIVO SCIENTIFICO E DIVULGAZIONE DEI RISULTATI
Il Convegno "Analisi Numerica: Metodi e Software Matematico", tenutosi a Ferrara il 19-20-21/1/2000, ha permesso di fare un consuntivo scientifico del progetto; a tale convegno hanno partecipato piu' di 100 ricercatori del settore e sono state presentate 54 comunicazioni. Gli atti del convegno, che costituiscono la sintesi piu' completa e significativa dei risultati del progetto, contengono 45 lavori e sono pubblicati nel Supplemento al n. 46 degli "Annali dell'Universita' di Ferrara". 
Durante tutta la durata del progetto e' stato mantenuto attivo il sito http://www.unife.it/AnNum97, per raccogliere e divulgare informazioni sull'attivita' in corso; al momento il sito contiene i consuntivi scientifici del progetto e permette l'accesso ad una parte significativa dei prodotti software realizzati. 

§ II. SOFTWARE ACCESSIBILE IN RETE E MONOGRAFIE
Sono stati realizzati e resi accessibili in rete i seguenti pacchetti software: 

1. software per il calcolo della risposta di un collimatore multiforo di medicina nucleare (A.R. Formiconi, A. Passeri, P. Calvini);
2. MRITool: un "tool" MATLAB per la ricostruzione di sequenze di immagini di risonanza magnetica nucleare funzionale (E. Loli Piccolomini, M. Romagnoli, F. Zama, G. Zanghirati, A.R. Formiconi, S. Martini): il software (per piattaforme Unix o Windows 9x/NT) usa il metodo RIGR e un metodo di regolarizzazione a scelta (TSVD, Tikhonov, gradienti coniugati); i test svolti sono stati ottenuti sia da simulazioni che da acquisizioni reali;
3. software per la valutazione numerica di metodi di tipo proiezione per problemi convessi di programmazione quadratica (QP) di grandi dimensioni (E. Galligani, V. Ruggiero, L. Zanni, C. Durazzi); e' fornito un generatore di problemi QP con la possibilita' di preassegnare numerose caratteristiche;
4. software per la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie basato su metodi BVM a blocchi nella famiglia denominata GAM (Generalized Adams Methods) (D. Trigiante, L. Brugnano, P. Amodio, F: Mazzia, F. Iavernaro, L. Aceto);
5. SPLISURF: un "tool" MATLAB per la generazione di una classe di spline 2D quasi interpolanti locali basate su triangolazioni di tipo 2 (C. Dagnino, P. Lamberti);
6. XCMODEL: sistema CAD per la modellazione di curve e superfici NURBS sculturate, per la composizione solida di oggetti e per la resa realistica di scene (G. Casciola, S. Morigi); il sistema, disponibile per piattaforme UNIX con sistema Xwindow, e' dotato di una consistente documentazione, pubblicata nell'ambito del progetto e costituita dai seguenti cinque manuali: 
   · G.Casciola, xcmodel: a system to model and render NURBS curves and surfaces, User's Guide - Version 1.0. 
   · G.Casciola, xccurv: the 2D modeller, User's Guide - Version 1.0. 
   · G.Casciola, xcsurf: the 3D modeller, User's Guide - Version 1.0. 
   · G.Casciola - G.DeMarco, xcbool: the object composer, User's Guide - Version 1.0. 
   · G.Casciola, xcrayt: the scene descriptor, User's Guide - Version 1.0.

A documentazione dei risultati teorici e delle esperienze computazionali su cui e' basato il software sopra descritto, sono state pubblicate nell'ambito del progetto le seguenti sei monografie: 

· A.R. Formiconi, A. Passeri, P. Calvini: Software for the dermination of the spatial response in Single Photon Emission Computed Tomography (SPECT) camera, n. 1, Ferrara (2000). 
· E. Loli Piccolomini, F. Zama, G. Zanghirati, A.R.Formiconi, S. Martini: MRITool: a Matlab tool for functional Magnetic Resonance Imaging reconstruction, n. 2, Ferrara (2000). 
· D. Trigiante, L. Brugnano, P. Amodio, F. Mazzia, F. Iavernaro, L. Aceto: Boundary Value Methods in Block Form: the State of the Art, n. 3, Ferrara (2000). 
· C. Dagnino, P. Lamberti: On the construction of bivariate quadratic C¹ splines, n. 4, Ferrara (2000). 
· E. Galligani, V. Ruggiero, L. Zanni: Projection-Type Methods for Large Convex Quadratic Programs: Theory and Computational Experience, n. 5, Ferrara (2000). 
· C. Durazzi, V. Ruggiero, L. Zanni: A Random Generator for Large-Scale Linearly Constrained Quadratic Programming Test Problems, n. 6, Ferrara (2000). 

§ III. DESCRIZIONE DEI RISULTATI SCIENTIFICI
Si riporta nel seguito una sintesi dei risultati scientifici ottenuti, suddividendoli fra i cinque temi di ricerca che costituivano gli obiettivi del progetto: 

1. Metodi e software per il miglioramento della ricostruzione di immagini SPECT da applicare nella routine clinica. Metodi per la ricostruzione e compressione di immagini.

• La validazione su dati clinici delle tecniche di ricostruzione 3D per immagini di tipo SPECT, mediante programmi paralleli di ricostruzione implementati su T3D (Firenze - Formiconi) ha fornito risultati soddisfacenti dal punto di vista clinico. Tuttavia l'onere computazionale del metodo inficia il suo utilizzo nella routine clinica a causa della non immediata disponibilità della risorsa del supercalcolo nell'impiego clinico. In seguito a questo risultato, e' stata sviluppata una tecnica approssimata per la ricostruzione SPECT 3D, che può essere realizzata su piattaforme di calcolo di basso costo allo scopo di favorirne l'inserimento su sistemi commerciali. Tale tecnica di ricostruzione consiste nel considerare un proiettore 3D come prodotto tensoriale di un proiettore 2D per una convoluzione in direzione assiale (Firenze - Formiconi e Genova - Brianzi). Mediante il software basato su questo metodo si possono ottenere immagini di qualità paragonabile a quelle ottenute con il metodo 3D con tempi di ricostruzione assimilabili a quelli del metodo convenzionale 2D. Il software prodotto e' attualmente utilizzato presso il laboratorio di Medicina Nucleare di Firenze.
• Il modello matematico 2D+1 per la ricostruzione 3D di immagini SPECT e' stato adattato al sistema CERASPECT in dotazione al Dipartimento di Scienze Motorie dell'Universita' di Genova, realizzando appositi programmi di conversione di dati e di ricostruzione di immagini (Firenze - Formiconi e Genova - Brianzi). Il software prodotto e' stato ampiamente validato in ambiente clinico dal Prof. Rodriguez, soprattutto nel caso dello studio delle demenze collegate al morbo di Alzheimer e viene attualmente usato presso il servizio di Neurofisiologia Clinica dell'Universita' di Genova .
• Si e' studiato un modello matematico per la ricostruzione 3D per sistemi SPECT con collimazione non parallela che permette di descrivere tutti i tipi di collimatori multiforo esistenti e che consente di determinare la risposta di un collimatore senza dover ricorrere ad alcun esperimento, una volta note le caratteristiche costruttive del medesimo (Firenze - Formiconi e Genova - Brianzi). Tale modello(implementato mediante il software §II.a) può essere impiegato per la progettazione di nuovi collimatori.
• E' stato sviluppato un modello 2D descritto da un'equazione integrale di Fredholm di I specie per i sistemi di acquisizione dei dati SPECT, che tiene conto, nel processo di acquisizione, della distanza tra il corpo e il rilevatore. E' stata svolta una analisi di tale modello mediante un programma Fortran implementato in ambiente parallelo su Cray T3E, utilizzando dati SPECT relativi sia a "fantocci" che a pazienti (Bologna).
• La ricerca sui metodi di regolarizzazione per risolvere problemi inversi mal posti è stata estesa alla ricostruzione di sequenze di immagini di Risonanza Magnetica nucleare funzionale. Si è svolta un'analisi di tali metodi su "problemi campione" costruiti su dati provenienti da acquisizioni reali, utilizzando il metodo RIGR (Liang, Lauterbur, IEEE Trans. Med. Imag., 13, 1994) per ricostruire una sequenza dinamica di immagini acquisite con un numero ridotto di frequenze.Come risultato di tale analisi e' stato realizzato il software MRITool (§II.b) (Bologna, Ferrara, Firenze - Formiconi).
• In relazione al problema dell'analisi del movimento di organi del corpo umano mediante lo studio dell'evoluzione dinamica di una sequenza di immagini, sono stati sviluppati nuovi modelli basati su schemi per equazioni differenziali a derivate parziali per processi di diffusione anisotropa per l'analisi multiscala di sequenze di immagini ecocardiografiche bidimensionali (2D) e tridimensionali (3D). Sono state realizzate valutazioni delle prestazioni quantitative e qualitative in problemi di ecocardiografia (Bologna).
• Per il problema della compressione di immagini e sequenze di segnali e immagini, e' stato approfondito lo studio delle proprietà teoriche delle funzioni M-band wavelet e multiwavelet e sono stati analizzati metodi di tipo algebrico per la costruzione di filtri biortogonali di tipo M-band. Sono stati inoltre sviluppati algoritmi basati sull'analisi wavelet packet non decimata per l'individuazione senza aliasing di transienti in segnali non stazionari (Bologna, Messina). Numerose applicazioni basate sull'uso di wavelet sono state fatte sia per l'analisi di differenti tipi di segnali (tracciati elettroencefalografici e di pressione arteriosa di pazienti ipertesi) (Messina, Pavia), sia per la caratterizzazione di curve associate a profili di ultrastrutture cellulari derivanti da immagini di microscopia elettronica (Messina).
• Sempre nell'ambito della compressione di immagini e di sequenze di immagini, si sono ampliate le conoscenze sulle autofunzioni di Karhunen-Loeve, considerando anche l'introduzione del colore nelle immagini (Torino - Favella). E' stato sviluppato un pacchetto software che consente di comprimere, codificare, decodificare e decomprimere immagini in bianco e nero e a colori oppure sequenze di fotogrammi con fattori di compressione dell'ordine di 200-300.
• Sono state studiate le proprieta' teoriche della tecnica Support Vector Machine, che determina la superficie di separazione di un insieme di punti appartenenti a due classi differenti, individuando una serie di algoritmi per la soluzione del problema QP di grandi dimensioni che e' alla base del metodo e realizzando una serie di applicazioni nel campo della Fisica delle Alte Energie (identificazione di particelle), della Visione Artificiale (riconoscimento di forme e di eventi dinamici in base all'analisi di sequenze di immagini di scene di interni da telecamera fissa), della Bioinformatica (riconoscimento di forme tumorali), della Statistica (Genova - Verri). E' di rilevanza la collaborazione con l'Unita' di Modena tesa a individuare nuovi metodi stabili ed efficienti per la risoluzione del problema QP alla base delle SVM.

2. Sfida delle potenzialità degli attuali calcolatori paralleli e dei nuovi metodi dell'Analisi Numerica per la risoluzione di significativi problemi di elevata complessità dell'Ingegneria.

• Nell'ambito della meccanica strutturale, sono stati studiati modelli e metodi computazionali per la risoluzione di problemi di guscio, basati sul metodo agli elementi finiti. La realizzazione di tali metodi e' stata effettuata sia con integrazione completa sia con integrazione ridotta e selettiva, usando come problemi campione problemi di guscio noti in letteratura come "benchmark problems" (Pavia).
• Sono stati sviluppati schemi numerici per sistemi iperbolici con termini non lineari di rilassamento e differenti scale temporali (Pavia, Ferrara). Sono stati studiati metodi spettrali per l'equazione di Bolzmann e l'equazione di Landau-Fokker-Plank, determinando algoritmi semplificati per le situazioni di maggiore interesse fisico. Per problemi stiff della gas dinamica, sono stati costruiti metodi Monte Carlo basati su discretizzatione temporale (Ferrara).
• Risultati significativi sono stati ottenuti nella risoluzione di equazioni di diffusione-convezione, di equazioni di trasporto di inquinanti in mezzi porosi, di equazioni di dispersione-convezione per il moto di contaminanti in mezzi porosi, di equazioni di flusso in acquiferi multistrato in condizioni di non linearita' (Padova, Venezia).Per quest'ultimo problema e' stato messo a punto un metodo parallelo su Cray T3D. Sono stati analizzati precondizionatori (anche paralleli) per i metodi di proiezione e confrontati i metodi di Arnoldi e di Crank-Nicolson su problemi di grandi dimensioni derivanti dalla discretizzazione mediante elementi finiti di alcune delle equazioni sopra citate. E' inoltre stato sviluppato un modello non lineare agli elementi finiti per la previsione della subsidenza residua su giacimenti di gas (Padova). E' stato messo a punto un codice parallelo per il calcolo di alcune delle piu' piccole autocoppie del problema generalizzato degli autovalori relativo a matrici sparse simmetriche definite positive, derivanti dalla discretizzazione mediante elementi finiti di modelli dell'ingegneria ambientale (Padova, Venezia).
• Nell'ambito dei problemi di idrodinamica con superficie libera, e' stato sviluppato un modello tridimensionale a volumi finiti per la simulazione di flussi idrostatici con superficie libera. Sono stati analizzati particolari algoritmi tridimensionali per la simulazione di flussi baroclinici che tengano conto di onde interne, di onde di superficie e della loro interazione. Sono stati studiati moti non idrostatici mediante un trattamento diretto delle equazioni di Navier-Stokes tridimensionali e sono stati sviluppati algoritmi tridimensionali semi-impliciti per moti non idrostatici dell'atmosfera sulla mesoscala (Trento).
• E' stata progettata, sviluppata e analizzata una versione prototipale di un software sia sequenziale che parallelo per la simulazione della dinamica e delle trasformazioni chimiche e fotochimiche di inquinanti atmosferici su mesoscala. L'affidabilita' del software e' stata testata mediante simulazioni realistiche dell'inquinamento atmosferico della regione Campania (Napoli - Giunta, Napoli - Murli).
• In elasticita' lineare e non lineare, sono stati studiati alcuni modelli discreti conservativi per la corda e la verga vibrante (Milano).
• Nell'ambito della progettazione e simulazione dei circuiti integrati, sono stati sviluppati alcuni precondizionatori appositi (Bologna) e sono state realizzate alcune modifiche a metodi iterativi quasi-newtoniani applicati a sistemi con classe di sparsita' bordata a blocchi, mantenendo le caratteristiche di convergenza superlineare locale e di convergenza globale di tali metodi e introducendo tecniche di globalizzazione basate su minimizzazioni non monotone (Ferrara).
• E' stata condotta un'analisi teorica e sperimentale dei metodi ABS per la risoluzione di sistemi lineari e per problemi di ottimizzazione. E' stata realizzata una versione preliminare del package ABSPACK, che appare competitivo rispetto a LAPACK su importanti classi di problemi (Bergamo).
• Sono stati studiati metodi di Newton Inesatti e quasi-Newton Inesatti per sistemi non lineari sparsi di grandi dimensioni. Entrambe i metodi sono stati combinati a differenti varianti di metodi row-projection a blocchi per la soluzione di problemi ai minimi quadrati sottodeterminati associati e sono stati ottenuti risultati teorici di convergenza locale. La valutazione numerica dei metodi studiati e' stata eseguita in ambiente parallelo su Cray T3E (Padova).
• Per problemi di ottimizzazione convessa, e' stata analizzata la classe dei metodi row-action, realizzando un codice per problemi QP con vincoli non lineari. Per problemi QP con vincoli bound, e' stato fatto un confronto su macchine parallele a memoria distribuita tra metodi basati su strategie dei vincoli attivi (gradiente proiettato) e metodi del punto interno, realizzando corrispondenti codici (Napoli - Toraldo, Napoli - Murli).
• Per problemi QP, e' stata svolta un'analisi teorica e sperimentale sui metodi di tipo proiezione, elaborando uno schema iterativo generale che unifica gli algoritmi classici di decomposizione, di proiezione e di proiezione modificata di Bertsekas e una classe di nuovi metodi proposti a proiezione variabile. Di tale schema e' stata dimostrata la convergenza sotto l'ipotesi della sola limitatezza della successione dei parametri di proiezione. Mediante un software sviluppato allo scopo (§II.c), sono state valutate le caratteristiche di efficienza computazionale dei nuovi schemi a proiezione variabile, proponendo alcune regole di aggiornamento adattivo del parametro di proiezione. Le potenzialita' dei metodi a proiezione variabile sono state valutate su una serie di applicazioni che riguardano l'analisi dei dati (interpolazione bivariata mediante superfici di classe C¹, riconoscimento di forme mediante SVM, ricostruzione di immagini, ecc.). Sono stati inoltre sviluppati codici relativi a metodi di proiezione su Cray T3E, confrontando diversi risolutori interni paralleli per i problemi misti di complementarieta' lineare (LCP), cui e' conveniente ricondurre i sottoproblemi QP quando il numero di vincoli e' rilevante (Ferrara, Modena).
• Si sono analizzati aspetti numerici presenti nella risoluzione di problemi quadratici di controllo ottimo. Nella risoluzione di un problema lineare-quadratico interviene l'equazione di Riccati. Il metodo di Newton applicato a questa equazione comporta ad ogni passo la risoluzione di una equazione matriciale di Sylvester, per la cui soluzione è stato proposto il metodo iterativo della media aritmetica. Per il problema di controllo ottimo discreto lineare-quadratico, sono state sviluppate due differenti trascrizioni in problemi QP; tali problemi sono stati risolti mediante il metodo di Hestenes combinato con l'algoritmo di gradiente coniugato, fornendo le condizioni sul problema di controllo per la convergenza del metodo stesso. Sempre in tale ambito, e' stata intrapresa un'indagine sui metodi di punto interno ottenendo risultati teorici e numerici significativi sui parametri caratterizzanti tali metodi e sulla loro relazione con i metodi di Newton inesatti. In particolare l'analisi sul parametro di perturbazione e' stata utilizzata nell'applicazione di tali metodi a problemi di controllo (Modena, Ferrara).

3. Metodi e software per l'integrazione numerica di sistemi di equazioni differenziali ordinarie (ODE) di grandi dimensioni.

• L'attività di ricerca sui metodi BVM si e' articolata in due fasi: realizzazione dei metodi BVM su calcolatori sequenziali e paralleli e studio delle proprietà dei metodi BVM ed applicazione a problemi differenziali di vario tipo (problemi di tipo Hamiltoniano, equazioni differenziali algebriche). L'implementazione dei metodi BVM a blocchi ha prodotto un codice sequenziale (GAM) estremamente competitivo con i codici esistenti (§II.d). Per l'implementazione parallela dei metodi BVM a blocchi, sono state considerate due strategie: la prima consiste nell'introdurre il parallelismo nella soluzione dei sistemi non lineari derivanti ad ogni passo dall'applicazione dei metodi, la seconda consiste nella approssimazione simultanea della soluzione su piu' passi temporali consecutivi dello stesso metodo. La teoria finora sviluppata sui metodi BVM è contenuta in un libro monografico di Brugnano, Trigiante (Firenze - Trigiante, Bari).
• E' stato svolto uno studio analitico delle proprieta' delle equazioni con ritardo in generale e nel caso particolare di equazioni con termine neutrale, individuando schemi numerici stabili. Sono stati studiati metodi numerici per la risoluzione temporale di equazioni differenziali basati sulle azioni del gruppo di Lie con l'obiettivo di conservare alcuni invarianti del sistema. Si e' studiato il loro comportamento in generale ed, in particolare, quando applicati alle equazioni del corpo rigido. Nell'ambito dello studio di stabilita' dei metodi numerici per ODE, sono state ottenute stime del raggio spettrale di famiglie di matrici (Trieste, Udine).
• Sono stati sviluppati metodi, spesso adatti anche ad architetture di calcolo parallelo, per la risoluzione di equazioni differenziali, di equazioni integro-differenziali, di equazioni integrali di Volterra (Bari, Milano, Napoli - Russo). Allo scopo di analizzare le proprietà di stabilita' dei metodi Runge-Kutta-Nystrom e della piu' ampia classe dei Metodi Generali Lineari, sono stati sviluppati due package simbolico-numerici di Mathematica, disponibili su http://www.netlib.org/ode/symbolic/ (Napoli - Russo).
• Sono state analizzate tecniche per controllare l'errore globale di discretizzazione per metodi che risolvono ODE sia con assegnati valori iniziali che con assegnati valori al contorno (Lecce, Pisa).
• Sono stati sviluppati metodi per l'approssimazione numerica degli autovalori di un'operatore di Fredholm di II specie e per il calcolo degli autovalori di matrici non normali vicine in norma a matrici difettive. Buoni risultati sono stati ottenuti nell'ambito dei polinomi ortogonali, in particolare rispetto a pesi relativistici (Roma).

12. Problemi riscontrati nel corso della ricerca

Sono stati rilevati i seguenti problemi: 

· Nel I anno e' stato necessario risolvere una serie di problemi tecnici inerenti all'accesso ed alla interpretazione dei dati acquisiti dalla strumentazione di risonanza magnetica. Per avere accesso ai dati è stato necessario un incontro scientifico con i responsabili della ricerca Philips e la stipula di un "non disclosure agreement" in quanto nel caso di strumentazione radiologiche le industrie non consentono l'accesso ai dati grezzi necessari per la sperimentazione di tecniche di ricostruzione alternative. 
· Il cofinanziamento MURST è stato disponibile per il coordinatore scientifico nell'ultima settimana del mese di luglio del 1998; i mandati per le varie sedi universitarie sono stati inviati tramite la Cassa di Risparmio di Ferrara il 10 agosto 1998; molti responsabili locali hanno avuto la disponibilità del cofinanziamento solo nel mese di dicembre 1998. 
· L'assegnazione di contratti e di assegni di ricerca è avvenuta con notevoli ritardi, probabilmente anche per l'impreparazione degli uffici amministrativi delle sedi universitarie sulle procedure da seguire.

13. Elenco unità di ricerca che hanno partecipato al programma di ricerca

TOTALI

14. Risorse umane complessivamente ed effettivamente impegnate

15. Modalità di svolgimento (dati complessivi)

16. Tabella delle spese sostenute

(per la copia da depositare presso l’Ateneo e per l’assenso alla diffusione via Internet delle informazioni riguardanti i programmi finanziati legge del 31.12.96 n° 675 sulla "Tutela dei dati personali")